1. CONJUNTOS

Antes de iniciarmos a introdução ao contexto de Conjuntos, você saberia dizer o que é um conjunto? Se você cogitou a hipótese de ser um conjuntos de objetos, está indo pelo caminho certo. Conjunto nada mais é que agrupar objetos, ou seja, ele é usado para expressar a união de algo.

Exemplo: Estudantes que cursam matemática formam um conjunto, da mesma forma que todos os alunos de uma escola estão matriculados na mesma, formam um conjunto.

Na figura 1, mostrada acima, na primeira imagem podemos representar o conjunto de alunos de uma escola, enquanto na segunda imagem podemos representar o conjunto de alunos que cursam matemática.

Antes de irmos para as definições, na tabela a seguir, segue alguns símbolos bastante utilizados em conjunto, se você não está familiarizado com seu significado, vamos transparecer a seguir.

Definição 1: Na primeira definição que vamos explorar entendemos que: Um conjunto é uma coleção não ordenada de objetos.

Recordando que o termo objeto, usado para definir conjunto, não se prende a coisa alguma, o que queremos dizer é que o termo objeto pode expressar qualquer coisa, números, pessoas, frutas, dentre outras coisas propostas.

Definição 2: Seguindo o raciocínio proposto acima: Os objetos no conjunto são chamados de elementos, ou membros, do conjunto. Diz-se que os elementos pertencem ao conjunto. A notação usada por muitos autores e professore para se expressar a relação de conjunto é dado por a, sendo que a é um elemento do conjunto, e A o conjunto. As chaves { }, são usadas para expressar tal relação, por exemplo { a, e, i, o, u}, fazer parte do conjunto V, conjunto este que seria das vogais. Existem diversas maneiras de descrever conjuntos, e não é necessário que os elementos que se encontram no conjunto tenha que ter necessariamente uma relação entre si, por exemplo: { Rafaella, 36, Bahia}, nesse contexto o conjunto possui três elementos, Rafaella, 36 e Bahia, e percebemos que eles não tem nenhuma relação entre si.

Exemplo 1: Compreendemos que é muito difícil escrever uma relação de conjuntos, com n elementos, é um trabalho cansativo de se fazer. Por exemplo, escrever um conjunto com números positivos e inteiros menores que 100. Usando a notação de conjunto, podemos vir a estabelecer propriedades que estes conjuntos podem vir a estar assumindo. Exemplificando para melhor compreensão, o conjunto N assume valores inteiros positivos e ímpares menores que 10, ao invés de escrever cada número dentro do conjunto, poderíamos estar escrevendo: N= { x | x é um número positivo e ímpar menor que 10}, ou usando a notação de conjunto, especificando propriedade como dito, essa mesma relação poderia ser reescrita da seguinte maneira: N={x ϵ Z* | x é ímpar e x < 10}. Em geral, esse modelo é usado para expressar conjuntos que seja impossível de listar, como já foi mencionado.

OBS: É bom prestar atenção com 0, pois á pessoas que não o consideram como um número natural, é bom checar como esse termo esta sendo assumindo.

Definição 3: Dois conjuntos são iguais se e somente se, eles tem os mesmos elementos. Ou seja, se A e B são conjuntos, então A e B são iguais se e somente se . Escrevemos A = B, se A e B forem conjuntos iguais.

Exemplo 2: A={6,9,3} e B={3,9,6}, são conjuntos iguais pois a ordem em que os elementos se encontram, não altera em nada o conjunto. Observamos também que é relevante escreve-lo como {3,3,6,6,9,9}, pois é o mesmo que representá-lo apenas uma vez {3,6,9}, pois representa os mesmos elementos.

Podemos representar os conjuntos também, por diagramas, este que foi introduzido pelo matemático Inglês John Venn em 1881. Os diagramas conhecido como Diagrama de Venn consiste no conjunto universo, que pode vir a serem representados por quadrados, retângulos, círculos, dentre outras figuras geométricas. Os pontos geralmente são utilizados para representar elementos particulares de um conjunto.

Figura 2

Na figura exemplificada acima, o conjunto representado pela letra N, representa os números de 1 até 10, e dentro desse retângulo, observamos um círculo, representado pela letra P que nos mostra os números pares .

Aproveitando a figura acima, podemos introduzir a próxima definição, que fala sobre subconjuntos.

Definição 4: O conjunto P é um subconjunto de N, se e somente se todo elemento de P for também um elemento de N. Usamos a notação P N, para indicar que P é um subconjunto do conjunto N. Isso só é verdade se

Na figura 2, observamos que P é um subconjunto do conjunto N, pois os números pares

P= {2,4,6,8,10} fazem parte do conjunto N= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

Definição 4: O conjunto A é um subconjunto de B se e somente se todo elemento de A for tambem um elemento de B. Abaixo temos a notação que indica que a é um subconjunto de B.

Na figura 2, observamos que P é um subconjunto do conjunto N, pois os números pares P= {2,4,6,8,10} fazem parte do conjunto N= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

Definição 5: Considere S como um conjunto. Se há exatamente n elementos distintos em S, em que n é um número inteiro não negativo,dizemos que S é um conjunto finito em que n é cardinal de S. O cardinal de S é indicado por |S|.

Exemplo: Considere S como o conjunto de todas as letras do alfabeto. Então |S|=26.

Definição 6: Um conjunto é dito infinito se ele não é finito. Um exemplo disso é o conjunto dos números positivos.

Conjunto das Partes

Definição 7:O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A , denotado por P(S).

Exemplo:

Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S é:

• { } (o conjunto vazio);

• {x};

• {y};

• {z};

• {x, y};

• {x, z};

• {y, z};

• {x, y, z};

e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:

P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.

Produto Cartesiano

Definição 8: Considere A e B como conjuntos. O produto cartesiano de A e B, indicado por A x B é o conjunto de todos os pares ordenados (a,b) em que a pertence a A e b pertence a B.

Exemplo:

A={1,2,3}

B={2,4,6}

O produto cartesiano de A x B é igual a:

AxB={(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6)}.

Note que segundo a definição de produto cartesiano, todos os elementos de A x B são pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo ao conjunto B.

Abaixo temos um video onde é abordado o conceito de Conjuntos:

*Este material foi elaborado com base no livro Matemática Discreta e suas Aplicações - Kenneth Rosen.

*O vídeo utilizado nesse post pertence ao canal do youtube Stoodi. Para mais videos acesse https://www.youtube.com/user/stoodibr